北師大版九年級數學下冊3.7切線長定理1教學設計反思

《北師大版九年級數學下冊3.7切線長定理1教學設計反思》這是一篇九年級下冊數學教案，希望能對您的生活工作得到幫助。

*3.7 切線長定理
1．理解切線長的定義；(重點)
2．掌握切線長定理并能運用切線長定理解決問題．(難點)
一、情境導入
如圖①，PA為⊙O的一條切線，點A為切點．如圖②所示，沿著直線PO將紙對折，由于直線PO經過圓心O，所以PO是圓的一條對稱軸，兩半圓重合．設與點A重合的點為點B，這里，OB是⊙O的一條半徑，PB是⊙O的一條切線．圖中PA與PB、∠APO與∠BPO有什么關系？
二、合作探究
探究點：切線長定理
【類型一】 利用切線長定理求線段的長
  如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA、PB，切點分別是點A和點B，如果∠APB＝60°，線段PA＝10，那么弦AB的長是(　　)
A．10 
B．12
C．53
D．103 
解析：∵PA、PB都是⊙O的切線，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB＝PA＝10.故選A.
方法總結：切線長定理是在圓中判斷線段相等的主要依據，經常用到．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第4題
【類型二】 利用切線長定理求角的度數
  如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，點C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度數是________度．
解析：如圖所示，連接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易證△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案為20.
方法總結：由公共點引出的兩條切線，可以運用切線長定理得到等腰三角形．另外根據全等的判定，可得到PO平分∠APB.
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第3題
【類型三】 利用切線長定理求三角形的周長
  如圖，PA、PB、DE是⊙O的切線，切點分別為A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半徑為5cm，求△PDE的周長．
解析：連接OA，根據切線的性質定理，得OA⊥PA.根據勾股定理，得PA＝12，再根據切線長定理即可求得△PDE的周長．
解：連接OA，則OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根據勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切線，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周長PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.
方法總結：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第4題
【類型四】 利用切線長定理解決圓外切四邊形的問題
如圖，四邊形ABCD的邊與圓O分別相切于點E、F、G、H，判斷AB、BC、CD、DA之間有怎樣的數量關系，并說明理由．
解析：直接利用切線長定理解答即可．
解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四邊形ABCD的邊與圓O分別相切于點E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.
方法總結：由切線長定理可以得到一些相等的線段，一定要明確這些相等線段．記住“圓外切四邊形的對邊之和相等”，對我們以后解決問題有很大幫助．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第4題
【類型五】 切線長定理與三角形內切圓的綜合
  如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的內切圓，它與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F.
(1)求證：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半徑．
解析：(1)利用切線長定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，進而得出BD＝CF，即可得出答案；
(2)首先連接OD、OE、OF，進而利用切線的性質得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，進而得出四邊形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半徑．
(1)證明：∵⊙O是△ABC的內切圓，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；
(2)解：連接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四邊形ODAF是正方形．設OD＝AD＝AF＝r，則BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝22.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半徑是2－2 .
方法總結：本題綜合考查了正方形的判定以及切線長定理和勾股定理等知識，解決問題的關鍵是得出四邊形ODAF是正方形．
【類型六】 利用切線長定理解決存在性問題
  如圖①，已知正方形ABCD的邊長為23，點M是AD的中點，P是線段MD上的一動點(P不與M，D重合)，以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交BC于點F，切點為E.
(1)除正方形ABCD的四邊和⊙O中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段(不能添加字母和輔助線)?
(2)求四邊形CDPF的周長；
(3)延長CD，FP相交于點G，如圖②所示．是否存在點P，使BF•FG＝CF•OF？如果存在，試求此時AP的長；如果不存在，請說明理由．
解析：(1)根據切線長定理得到FB＝FE，PE＝PA；(2)根據切線長定理，發現該四邊形的周長等于正方形的三邊之和；(3)若要滿足結論，則∠BFO＝∠GFC，根據切線長定理得∠BFO＝∠EFO，從而得到這三個角應是60°，然后結合已知的正方形的邊長，也是圓的直徑，利用30°的直角三角形的知識進行計算．
解：(1)FB＝FE，PE＝PA；
(2)四邊形CDPF的周長為FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；
(3)假設存在點P，使BF•FG＝CF•OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF•tan∠GFC＝CF•tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG•tan∠PGD＝DG•tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.
方法總結：由于存在性問題的結論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設存在性以后進行的推理或計算．一般思路是：假設存在——推理論證——得出結論．若能導出合理的結果，就做出“存在”的判斷，若導出矛盾，就做出“不存在”的判斷．
三、板書設計
切線長定理
1．切線長的概念
2．切線長定理
3．切線長定理的應用
在教學過程中，通過安排實踐操作活動，使學生提高了探究的興趣．首先教師突出操作要求，學生操作并思考回答問題，教師在學生回答問題的基礎上進一步引導學生從中發現問題，讓學生體會從具體情景和實踐操作中發現問題，解決問題．通過設計問題情境，使學生提高解決問題的意識，通過自己畫圖嘗試從中得到感性認識，進而不斷地比較，讓學生的思維能夠經歷一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴格、精確，使學生體會數學發展的過程.

北師大版九年級數學下冊3.7切線長定理1教學設計反思這篇教案共8107字，適合用于九年級下冊數學教案教學學習。

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